HIMPUNAN DAN BILANGAN

HIMPUNAN DAN BILANGAN

A.     DASAR-DASAR HIMPUNAN

1.Pengertian Himpunan

Himpunan di perkenalkan oleh Geogre Cantor  (1845-1918), seorang ahli matematika jerman.  Ia menyatakan bahwa himpunan adalah kumpulan atas objek-objek. Objek tersebut dapat berupa benda abstrak maupun kongkret. Pada dasarnya benda-benda dalam suatu himpunan tidak harus mempunyai kesamaan sifat/ karakter

Kumpulan dari sebatang pensil, sebuah kursi dan setangkai bunga membentuk sebuah himpunan. Namun tidak memiliki kesamaan sifat. Benda-benda dalam suatu himpunan harus terdefinisi dengan jelas, well defined, artinya dapat di bedakan apakah suatu benda termaksud ataupun tidak dalam himpunan tersebut. Sebagai contoh kumpulan semua bilangan genap membentuk sebuah himpunan, sebab syarat keanggotaannya terdefinisi dengan jelas.

Kumpulan orang-orang yang pandai tidak merupakan himpunan sebab sifat “Pandai” tidak dapat di definisikan dengan tepat. Akibatnya tidak dapat di tentukan secara pasti apakah seorang guru matematika termaksud dalam himpunan tersebut atau tidak. Kumpulan bunga yang harum juga merupakan bukan himpunan sebab penentuan harum tidaknya suatu bunga bersifat subjektik, maksudnya bunga yang dikategorikan harum oleh seseorang belum tentu di anggap harum oleh orang lain. Kumpulan lain yang bukan merupakan himpunan misalnya

a)      Kumpulan makanan enak,

b)      Kumpulan wanita cantik, dan

c)      Kumpulan lukisan indah.

Nama suatu himpunan biasanya menggunakan huruf capital seperti A,B,CdanX.  Sedangkan anggota suatu himpunan biasanya dinotasikan dengan huruf kecil seperti a,b,c,x, dan y. Misalnya H adalah himpunan semua huruf hidup dalam alvabet latin, maka benda-benda yang termaksud dalam himpunan H adalah a,i,u,e dan o. Benda-benda yang masuk dalam suatu himpunan disebut sebagai anggota himpunan tersebut notasi untuk menyatakan anggota suatu himpunan adalah “Δ. Sedangkan notasi untuk an anggota adalah “Ï”. Dengan demikian iÎH, u Î H, e Î H, dan o Î H sedangkan b Ï c Ï H dan d Ï H. Istilah anggota yang di gunakan di atas dapat di ganti dengan istilah elemen dan unsur.

Dalam menyatakan suatu himpunan ada tiga cara, yakni dengan kalimat, dengan cara mendaftar, dan dengan notasi pembentuk himpunan. Cara mendaftar di lakukan dengan menuliskan anggota-anggotanya di dalam tanda tabulasi { } dimana antar anggota dibatasi dengan tanda koma. Sebagai contoh himpunan H= {a, i, u, e, o} menyatakan himpunan semua huruf dalam alvabet latin.

Himpunan X yang anggota-anggotangya memenuhi sifat P dinotasikan sebagai

X= {x | x bersifat P}

Notasi ini di sebut notasi pembentukan himpunan. Contoh dari notasi ini adalah H= { x | x adalah satu dari lima huruf hidup dalam alvabet latin}. Tanda garis tegak “|” dapat di ganti dengan tanda gariris miring “ / “ , tanda bagi “ : “ atau tanda titik koma “ ; “ . dalam buku matematika SMP tanda yang di gunakan adalah tanda tegak “ | “ . untuk memperjelas tentang berbagai cara menyatakan himpunan, perhatikan contoh berikut yang menyatakan himpunan yang sama.

a)      Himpunan semua bilangan genap positif.

b)      { 2, 4, 6, 8, ....}

c)      { x | x = 2 n , n adalah bilangan asli}

Masing-masing cara dalam menyatakan himpunan mempunyai kelebihan dan kelemahan masing-masing. Misalnya kelebihan cara mendaftar adalah apabila di gunakan untuk himpunan yang sedikit anggotanya, sedangkan kelemahannya adalah apabila di gunakan untuk menulis himpunan yang anggota-anggotanya tidak berpola dan tidak mungkin di daftar semuanya. Sebagai contoh himpunan semua warga Indonesia tidak efisien bila di tulis dengan cara mendaftar.

Jenis himpunan dapat di bedakan berdasarkan banyaknya anggota himpunan tersebut. Himpunan di katakan berhingga apabila mempunyai m anggota berbeda, dimana m suatu bilangan cacah. Selain itu disebut himpuan tak terhingga. Himpunan semua huruf dalam alvabet latin, himpunan bilangan prima yang genap, dan himpuan semua bilangan asli kurang dari 1.000.000 adalah tiga contoh himpunan berhingga. Sedangkan himpunan bilangan ganjil dan himpunan bilangan real termaksud himpunan tak berhingga. Notasi n (H) digunaka |H|. Jadi apabila H = {a, i, u, e, o} maka n (H)=5 dan bila K={ 0 } maka n(K)=1.

Misalnya himpunan I={ x | x Î[0,1] } dan A adalah himpuanan semua bilangan asli. Keduanya merupakan himpunan tak berhingga. Dalam hal ini n(I) = ¥ dan juga n(A) = ¥ . himpunan A merupakan himpunan terhitung ( countable) karena kita dapat mengurutkan suatu persatuan anggota-anggotanya. Sedangkan himpunan I merupaka himpunan tak terhitung (uncountable). Akibatnya penulisan lambang ¥ di atas mempunyai kelemahan karena belum membedakan himpunan terhitung dan tak terhitung. Seorang matematikawan, kantro, memberikan notasi yan g lebih baik yakni n(A)= Ào (dibaca aleph-nol) sedangkan n(I) = c simbol À(dibaca aleph) merupakan huruf pertama dalam alfabet Hebrew. Ada kalanya himpunan tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan seperti ini di sebut sebagai himpunan kosong yang dinotasikan dengan { } atau simbol Æ. Tanda Æ merupakan huruf phi dalam alfabet Yunani. Contoh-contoh himpunan kosong adalah:

a)      Himpunan semua anak Indonesia yang tingginya lebih dari 3meter.

b)      Himpunan semua bilangan ganjil yang habis dibagi 2.

c)      { x | x² + 1 = 0, x adalah bilangan bulat }

d)      { x | x² – 9 = 0, 2x - 4 = 0 }

e)      { x | x¹ x }

f)        H = { x | x Ï H }

B.     BILANGAN DALAM MATEMATIKA

1.      Bilangan Asli
Bilangan asli adlah himpunan bilangan bulat positif yang bukan nol. Nama lain dari bilangan ini adalah bilangan hitung atau bilangan yang bernilai positif (integer positif) contoh.

{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,..... }

2.      Bilangan Cacah
Bilangan Cacah adalah himpunan bilangan asli ditambah dengan nol contoh
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, .....}

3.      Bilangan Negatif
Bilangan Negatif (integer negatif ) adalah bilanga yang lebih kecil/ kurang dari nol. Atau juga bisa di katakan bilangan yang letaknya disebelah kiri nol pada bilangan contoh,
{ -1, -2, -3, -4, -5, -6, -7, -8, -9,...}

4.      Bilangan Bulat

Biulangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan asli, bilangan nol, dan bilangan negatif, contoh,
{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ....}

5.      Bilangan Prima
Bilangan Prima adalah bilangan asli lebih besar dari satu yang faktor pembaginya adalah satu dan bilangan itu sendiri contoh.
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ....}

6.      Bilangan Komposit
Bilangan Komposit adalah bilangan asli lebih besar dari satu yang bukan merupakan bilangan prima. Bnilangan komposit dapat dinyatakan sebagai faktorisasi bilangan bulat, atau hasil perkalian dua bilangan prima atau lebih. Atau bisa juga di sebut bilangan yang memiliki faktor lebih adari 2. Contoh.
{ 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, .....}

7.      Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang merupakan penjumlahan antara bilangan real dan bilangan imajiner atau bilangan yang berbentuk a + bi di mana a dan b adalah bilangan real, dan i adalah bilangan imajiner tertentu. Bilangan real a disebut juga bilangan real dari bilangan kompleks, dan bilangan real b di sebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan kompleks, nilai b adalah nol, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan bilangan real a contoh.
{ 3 + 2i }

8.      Bilangan Imajiner

Bilangan Imajiner adalah bilangan yang mempunyai sifat i² = -1. Bilangan ini merupakan bagian dari bilangan kompleks. Secara defenisi, bilangan imajiner i ini diperoleh dari penyelesaian persamaan kuadratik:
x²  + 1 = 0 atau secara ekuifalen
x²  = -1

Atau sering di tulis sebagai
x = √-1

9.      Bilangan Real atau bilanagan Riil
Bilangan Real atau bilanagan Riil menyatakan bilangan yang dapat di tuliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547, ...... atau 3.328184. dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan decimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma “,” sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan decimal adalah bilangan yan memiliki angka di belakang tanda titik “.” . bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan -23/129, dan bilangan irasional, ∏ dan √2, dapat di persentasekan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Himpunan bilangan real dalam matemarika di lambangkan dengan R (berasal dari kata real)

10.  Bilangan Irasional
Bilangan Irasional merupakan bilangan real yang tidak bisa dibagi atau lebih tepatnya hasil baginya tidak pernah berhenti. Sehingga tidak bisa dinyatakan a/b.

Contoh :

∏                     =          3,141592653358...

√2                    =          1,4142135623...
е                      =          2,71828281284590...

11.  Bilangan Rasional
Bilangan rasional adalah bilangan-bilangan yang merupakan rasio (pembagian) dari dua angka (integer) atau dapat dinyatakan dengan a/b, dimana a merupakan himpunan bilangan bulat dan b merupakan himpunan bilangan bulat tetapi tidak sama dengan nol. Contoh {1/2, 1/3, 2/3, 1/8, 3/8, 5/8, 7/8,..... }

12.  Bilangan Pecahan
Bilangan Pecahan adalah bilangan yang disajikan/ ditampilkan dalam bentuk a/b; dimana a, b bilangan bulat dari b ≠ 0. A disebut pembilang dan b disebut penyebut. 

 SEMOGA BERMANFAAT :) :) :) 

di tunggu kritik dan saran yang membangun :) thanks